Download e-book for iPad: El Paraíso de Cantor: La Tradición Conjuntista en la by Roberto Torretti

By Roberto Torretti

ISBN-10: 9561114496

ISBN-13: 9789561114494

De Prefacio:
Este libro es una historia razonada de los angeles tradición conjuntista, desde los primeros escritos de Cantor hasta l. a. publicación de los teoremas de Cohen (1963) y su impacto inmediato. Hago una que otra alusión a Kronecker y me ocupo, cuando hace falta, de Poincaré, pero los angeles importante oposición de Brouwer y Weyl sólo l. a. menciono al paso, sin analizarla, porque el propio Hilbert, que explícitamente outline su empresa filosófica como una defensa de las matemáticas contra ellos, no se dio el trabajo de estudiarlos. Con todo, para el lector curioso, explico brevemente en el Apéndice XIX algunas rules de Brouwer que preceden y motivan l. a. declaración de guerra de Hilbert. En cambio, no me ha parecido oportuno examinar en el presente contexto l. a. fundamentación constructivista del análisis, propuesta inicialmente por Weyl (1918), poco antes de su conversión al brouwerismo, y desarrollada mucho más tarde por Lorenzen (1965) y Bishop (1967).
El libro consta de tres partes, correspondientes a tres etapas en l. a. historia del conjuntismo. El presente volumen contiene las partes 1 y 2. l. a. parte three todavía no está escrita. l. a. parte 1, titulada “Conjuntos”, se refiere a los angeles fundación de los angeles teoría de conjuntos por Cantor, las paradojas que se le enrostran, y los angeles axiomatización de l. a. teoría por Zermelo (1908) y sus continuadores. los angeles parte 2, titulada “Cálculos” gira en torno al programa de Hilbert para darle a l. a. teoría de conjuntos un fundamento intuitivo incontestable, garantizando así a los matemáticos el disfrute del paraíso que – según frase del mismo Hilbert – Cantor ha creado para ellos. Estudia los antecedentes de dicho programa en las obras de Frege, Peano, Dedekind, Russell y Whitehead, y Skolem; su desarrollo en l. a. década de 1920 por Hilbert y sus seguidores; y el inesperado escollo que le salió al encuentro con los hallazgos de Gödel. los angeles parte three, “Modelos”, examinará los angeles contribución al conjuntismo de los métodos semánticos introducidos desde 1930 por Gödel y Tarski.
Pienso que el libro puede servir como introducción histórica al tema. Para leerlo, no es preciso tener conocimientos previos al respecto, pero sí el hábito de leer definiciones y demostraciones matemáticas. Cualquiera que haya seguido cursos universitarios de matemáticas por más de un año tiene ese hábito en los angeles medida requerida aquí. Por otra parte, creo que una personality acostumbrada a leer prosa filosófica puede adquirirlo directamente en este mismo libro. Supongo, sí, que el lector filósofo que se interese en él habrá hecho estudios de lógica. Por otra parte, confío en que el lector con educación matemática pero sin estudios de lógica podrá extraer del Apéndice IX (pp. 480-502) toda los angeles información requerida.

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Por definición, la suma  +  de dos cardinales  y  es el cardinal de la unión de dos conjuntos disjuntos cualesquiera tales que  y  sean sus repectivos cardinales. En otras palabras, si  = |A| y  = |B| y A ∩ B = ∅,  +  = |A ∪ B|. El producto  de dos cardinales  y  se define así: si  = |A| y  = |B|, sea A × B el conjunto de todos los pares ordenados 〈a,b〉, tales que a ∈ A y b ∈ B; entonces  = |A × B|. Cantor muestra que bajo las condiciones antedichas,  es asimismo el cardinal del conjunto construido formando la unión de  conjuntos disjuntos 8 La caracterización cantoriana de los cardinales recuerda, sin duda, la definición de Frege, según la cual el cardinal de una clase C es la clase de todas las clases equinumerosas con C, pero no debe confundirse con ella.

Evidentemente, los números algebraicos ordenados de esta manera forman una secuencia infinita, u1, u2,…, en correspondencia biunívoca con los enteros positivos. 4 Diversos infinitos 23 de cualquier número real p hay infinitos números algebraicos. Para probar que todo intervalo real (α, β) es más numeroso que el conjunto de los enteros positivos, Cantor considera una secuencia infinita arbitraria σ de números reales, todos diferentes, p1, p2,…, y muestra que en cualquier intervalo (α, β) hay por lo menos un número real que no pertenece a esa secuencia.

Evidentemente, los números algebraicos ordenados de esta manera forman una secuencia infinita, u1, u2,…, en correspondencia biunívoca con los enteros positivos. 4 Diversos infinitos 23 de cualquier número real p hay infinitos números algebraicos. Para probar que todo intervalo real (α, β) es más numeroso que el conjunto de los enteros positivos, Cantor considera una secuencia infinita arbitraria σ de números reales, todos diferentes, p1, p2,…, y muestra que en cualquier intervalo (α, β) hay por lo menos un número real que no pertenece a esa secuencia.

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by Kenneth
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